<T->
          Matemtica e realidade
          7 ano
            
          Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado
          
          Impresso Braille em 
          8 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          6 edio -- 2009, 
          So Paulo,  
          Editora Atual.

          Segunda Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
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          Tel.: (21) 3478-4400
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          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,  
          -- 2012 --
<P>
          (C) Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado, 2009.

          ISBN 978-85-357-1065-6
  
          Gerente editorial: 
          Lauri Cericato 
          Editora: Teresa Christina W. P. de Mello Dias 
          Editora assistente: 
          Edilene Martins dos Santos 
          Licenciamento de textos: 
          Stephanie Santos Martini 
          
          Todos os direitos reservados
          Copyright desta edio: 
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          Fax vendas: (11) 3611-3268 
          ~,www.editorasaraiva.com.br~, 
<p>          
                             I
Sumrio

Segunda Parte

<F->
Unidade 1 -- Nmeros 
  inteiros

Captulo 5- 
  Multiplicao :::::::::::: 105 
Multiplicando inteiros 
  positivos ::::::::::::::::: 106
Multiplicando inteiros de
  sinais contrrios ::::::::: 108
Multiplicando inteiros 
  negativos ::::::::::::::::: 111
Menos por menos d mais :::: 118
Multiplicando trs ou 
  mais inteiros ::::::::::::: 119
Propriedades da 
  multiplicao ::::::::::::: 126
Propriedade comutativa ::::: 126
Propriedade associativa :::: 127
Elemento neutro :::::::::::: 128
Menos por menos d mais 
  (mais uma explicao) ::: 129
Captulo 6- Diviso :::::: 135
A diviso :::::::::::::::::: 135
<p>
Diviso de inteiros :::::::: 137
Captulo 7- 
  Potenciao :::::::::::::: 146
Recordando potncia :::::::: 146
Matemtica no tempo 
  -- Nmeros negativos ::::: 162

Unidade 2 -- Geometria: 
  ngulos e retas
Captulo 8- ngulo ::::::: 169
O que  ngulo ::::::::::::: 170
ngulos congruentes :::::::: 174
Medida de ngulo ::::::::::: 175
Construo de ngulos :::::: 177
Fraes do grau :::::::::::: 185
Medida de ngulo expressa 
  por um nmero misto ::::::: 186
Adio de medidas de 
  ngulos ::::::::::::::::::: 190
Subtrao de medidas de 
  ngulos ::::::::::::::::::: 192
Multiplicao de medida de 
  ngulo por um nmero 
  natural ::::::::::::::::::: 194
Diviso de medida de ngulo 
  por um nmero natural ::::: 196
<P>
                            III
ngulos adjacentes ::::::::: 199
Bissetriz de um ngulo ::::: 201
Semirreta interna a um 
  ngulo :::::::::::::::::::: 201
Bissetriz :::::::::::::::::: 202
Retas perpendiculares :::::: 207
<F+>
<p>
<43>
<T mat. realidade 7>
<t+105> 
Unidade 1 -- Nmeros inteiros

<F->
Captulos:
5- Multiplicao
6- Diviso
7- Potenciao

Unidade 2 -- Geometria: ngulos 
  e retas 

<R+>
<F->
Captulo: 
8- ngulo 
<F+>
<R->

<F+>
Captulo 5- Multiplicao

A quantidade de azulejos 

  Observe a foto e responda: 

<R+>
_`[{foto: parede revestida por azuleijos dispostos conforme a representao a seguir_`]
<R->
<p>
<F->
 !::::::::::::::::::::
 l    _    _    _    _    _
 r::::w::::w::::w::::w::::w
 l    _    _    _    _    _
 r::::w::::w::::w::::w::::w
 l    _    _    _    _    _
 h::::j::::j::::j::::j::::j
<F+>

  Quantos azulejos h nesta parede, se ela for revestida com 18 fileiras de 25 azulejos? 
 25+25+'''+25 -- 18 parcelas de 
  25
 1825=450
  Existem 450 azulejos. 

Multiplicando inteiros positivos 

  Multiplicar dois inteiros positivos  o mesmo que multiplicar dois naturais. Utilizamos a multiplicao quando precisamos somar parcelas iguais. 
  Exemplos: 
<R+>
 `(+42)+`(+42)+`(+42)+`(+42)+
  +`(+42)=5`(+42)=542=210 
 `(+13)`(+100)=13100=1.300 
<R->
<44>
<p>
O dbito de parcelas iguais 

  Se uma pessoa compra um fogo para pagar em 6 prestaes de R$133,00, quanto ser somado ao saldo de sua conta no banco? 
  Cada prestao acarreta um dbito de R$133,00 na conta. O dbito total ser de: 
 6133=798 
  Do saldo da conta sero subtrados R$798,00 ou, o que d no mesmo, ser somado o valor de -R$798,00. 
  Outro raciocnio: cada prestao acarreta uma retirada de dinheiro da conta; portanto, soma ao saldo um nmero negativo. Temos, ento, uma soma de 6 parcelas negativas: 
 6 parcelas de `(-133) -- -133-
  -133-133-133-133-133=-798
  Como adicionamos 6 parcelas de `(-133), indicamos: 
 6`(-133)=-798 
<p>
<R+>
Multiplicando inteiros de sinais contrrios 
<R->

  Observe que: 
 6`(-133)=-133-133-133-133-
  -133-133=-798 
  Da mesma forma, 5`(-10)  a maneira abreviada de escrever a soma de 5 parcelas de -10. 
 5`(-10)=-10-10-10-10-10=
  =-50 
  Note que: 
 6`(-133)=-`(6133)=-798 
 5`(-10)=-`(510)=-50 
  Outros exemplos: 
 1.000`(-1)=-`(1.0001)=
  =-1.000 
 20`(-11)=-`(2011)=-220 
  E como se faz a multiplicao quando o primeiro fator  negativo? 
  Para preservar a propriedade comutativa da multiplicao (a ordem dos fatores no altera o 
<p>
 produto), devemos ter, por exemplo: 
 `(-133)6=6`(-133)=
  =-798; ento, `(-133)6=
  =-`(1336)=-798 
 `(-10)5=5`(-10)=-50; 
  ento, `(-10)5=-`(105)=-50 
 `(-1)1.000=1.000`(-1)=
  =-1.000; ento, `(-1)1.000=
  =-`(11.000)=-1.000 
 `(-11)20=20`(-11)=-220; 
  ento, `(-11)20=-`(1120)=
  =-220 
<45>
  Para concluir, observe novamente: 
 6`(-133)=-`(6133) 
 `(-1)1.000=-`(11.000) 
 5`(-10)=-`(510) 
 `(-11)20=-`(1120) 

  Para multiplicar um nmero positivo por outro negativo, em qualquer ordem, multiplicamos os valores absolutos e damos ao produto o sinal negativo. 
<p>
  Exemplos: 
 `(-4)`(+9)=-`(49)=-36 
 `(-2)32=-`(232)=-64 
 `(+6)`(-8)=-`(68)=-48 
 50`(-3)=-`(503)=-150 

Exerccios

<R+>
71. Invente um problema que possa ser resolvido pela multiplicao 1250 e outro, pela multiplicao 12`(-50). D as respostas. 
<R->

72. Calcule os produtos: 
 a) 3`(-5)
  4`(-25)
  20`(-36) 
  111`(-2) 
 b) `(-4)8
  `(-10)33 
  `(-45)6 
  `(-300)50 
<p>
73. Calcule: 
 a) 911 
  `(+9)`(+11) 
  `(+9)`(-11) 
  `(-9)`(+11)
 b) 754 
  `(+75)`(+4) 
  `(+75)`(-4) 
  `(-75)`(+4) 
 c) 441.000 
  `(+44)`(+1.000) 
  `(+44)`(-1.000) 
  `(-44)`(+1.000)

Multiplicando inteiros negativos 

  Como calculamos `(-3)`(-7)? E `(-5)`(-12)?
  Vamos ver que, mesmo nesse caso, a multiplicao pode estar representando uma adio de parcelas iguais. 
<p>
  J sabemos que `(-3)7=-`(37)=-21 e tambm 3`(-7)=-`(37)=-21. Ento: 
 `(-3)7=3`(-7)=-7-7-7 

<R+>
_`[{uma jovem raciocina e diz:_`]
 `(-3)7 equilave a tirar trs vezes o 7: -7-7-7  o mesmo que 3`(-7).
<R->
<46>

  Assim, tambm: 
<R+>
 `(-5)12=5`(-12)=-12-12-12-
  -12-12 
<R->
 5 parcelas de `(-12) 

<R+>
_`[{o feirante pensa_`]
 `(-5)12 equilave a tirar cinco vezes o 12: -12-12-12-12-12 
   o mesmo que 5`(-12).
<R->

  Quando o primeiro fator  negativo, seu valor absoluto indica a quantidade de parcelas que devemos adicionar; as parcelas so iguais ao oposto do segundo fator. 
<p>
  Deve ser assim tambm quando os dois fatores so negativos. 
  Ento: 
<R+>
 `(-3)`(-7) deve ser a soma de 3 parcelas iguais ao oposto de `(-7) 
 `(-3)`(-7)=-`(-7)-`(-7)-`(-7)=
  =7+7+7=21 
 3 parcelas de -`(-7) 
<R->

_`[{um jovem diz:_`]
<R+>
 `(-3)`(-7) equivale a tirar trs vezes o `(-7): -`(-7)-`(-7)-
  -`(-7) que  equivalente a: +7+7+7 ou a 3`(+7).

 `(-5)`(-12) deve ser a soma de 5 parcelas iguais ao oposto de `(-12) 
 `(-5)`(-12)=-`(-12)-`(-12)-
  -`(-12)-`(-12)-`(-12)=12+12+
  +12+12+12=60 
<R->
5 parcelas de -`(-12) 
<p>
<R+>
_`[{uma professora diz:_`]
 `(-5)`(-12) equivale a tirar cinco vezes o `(-12): -`(-12)-`(-12)-`(-12)-`(-12)-
  -`(-12) que  equivalente a: +12+12+12+12+12 ou a 5`(+12).
<R->

  Para concluir, observe que: 
`(-3)`(-7)=21=+`(37)
`(-5)`(-12)=60=+`(512) 

  Para multiplicar dois nmeros negativos, multiplicamos os valores absolutos e damos ao produto o sinal positivo. 

  Exemplos: 
<R+>
 `(-9)`(-11)=+`(911)=99 
 `(-75)`(-4)=+`(754)=300 
 `(-44)`(-1.000)=+`(441.000)=
  =44.000 
 `(-6)`(-6)=+`(66)=36 
<R->
  Observe que: 
<R+>
 podemos indicar a multiplicao sem o sinal  (ou .) da operao. Os fatores ficam um junto do outro, sem sinal entre eles. Veja os exemplos: 
 `(+2)`(+5)=10 
 `(-3)`(+6)=-18 
 2`(5)=10
 -3`(6)=-18 
 2`(-5)=-10 
 -3`(-6)=18 
<47>
 no se devem escrever dois sinais de operaes um junto do outro sem parnteses. 
<R->
  Assim, no se escreve 5-3 nem 5.-3. Deve-se escrever 5`(-3) ou 5.`(-3) ou, simplesmente, 5`(-3). 

Exerccios

<R+>
74. Copie a tabela a seguir no caderno e complete-a multiplicando cada nmero por -10. 
<R->
<p>
<F->
 !::::::::::::::::::::
 l Nmero _ Nmero   _
 l         _ `(-10)   _
 r:::::::::w:::::::::::w
 l +5     _ '''       _
 r:::::::::w:::::::::::w
 l +4     _ '''       _
 r:::::::::w:::::::::::w
 l +3     _ '''       _
 r:::::::::w:::::::::::w
 l +2     _ '''       _
 r:::::::::w:::::::::::w
 l +1     _ '''       _
 r:::::::::w:::::::::::w
 l  0     _ '''       _
 r:::::::::w:::::::::::w
 l -1     _ '''       _
 r:::::::::w:::::::::::w
 l -2     _ '''       _
 r:::::::::w:::::::::::w
 l -3     _ '''       _
 r:::::::::w:::::::::::w
 l -4     _ '''       _
 r:::::::::w:::::::::::w
 l -5     _ '''       _
 h:::::::::j:::::::::::j
<F+>
<p>
<F->
75. Qual  o produto? 
a) `(-2)`(-4) 
b) `(-5)`(-6) 
c) `(-8)`(-1) 
d) `(-9)`(-10) 

<R+>
76. Copie esta tabela no seu caderno e complete-a. 
<R->
<F+>

<F->
:::::::::::::::::::::::::::::
   _ -10 _ -5 _ 0  _ 5  _ 10 
::::w::::::w:::::w:::::w:::::w::::
4  _ '''  _ ''' _ ''' _ ''' _ ''' 
::::w::::::w:::::w:::::w:::::w::::
2  _ '''  _ ''' _ ''' _ ''' _ ''' 
::::w::::::w:::::w:::::w:::::w::::
0  _ '''  _ ''' _ ''' _ ''' _ ''' 
::::w::::::w:::::w:::::w:::::w::::
-2 _ '''  _ ''' _ ''' _ ''' _ ''' 
::::w::::::w:::::w:::::w:::::w::::
-4 _ '''  _ ''' _ ''' _ ''' _ ''' 
::::j::::::j:::::j:::::j:::::j::::
<F+>

  Assim como na multiplicao de nmeros naturais, se um fator  zero, o produto  zero.
<p>
<F->
77. Calcule: 
a) `(-6)`(-7) 
b) `(+5)`(-5)
c) `(-4)`(+4) 
d) -9`(2) 
<F+>

Menos por menos d mais 

  Veja esta explicao: 
  -`(-7) pode ter estas duas interpretaes: 
<R+>
 o oposto de -7. Ento: -`(-7)=+7 
 subtrair -7. Como subtrair um nmero d o mesmo que somar o oposto desse nmero, subtrair -7 d o mesmo que somar 7. 
<R->
 -`(-7)=+7
  As duas interpretaes conduzem ao mesmo resultado. 
 -3`(-7) pode ter estas duas interpretaes: 
<R+>
 o produto dos nmeros -3 e -7; 
<p>
 subtrair trs vezes -7. 
<R->
  Como subtrair trs parcelas de -7 d o mesmo que somar trs parcelas de 7, temos: 
 -3`(-7)=+3.7=+21 
  As duas interpretaes devem conduzir ao mesmo resultado. 
  Ento, o produto dos nmeros negativos -3 e -7 deve dar o nmero positivo +21. 
<48>

Multiplicando trs ou mais 
  inteiros 

  Para multiplicar trs ou mais nmeros inteiros, podemos, por exemplo, multiplicar os dois primeiros, em seguida multiplicamos o resultado pelo nmero seguinte, e assim por diante. 
  Veja os exemplos: 
<R+>
 12.`(-1).`(-3)=`(-12)`(-3)=
  =+36=36 
 `(-4).5.`(-2).`(-6)=
  =`(-20)`(-2)`(-6)=40`(-6)=-240 
<R->
<p>
  Na multiplicao de nmeros inteiros, podemos verificar primeiro 
qual o sinal do produto e, depois, multiplicar os valores absolutos. 
  Veja o exemplo: 
 `(-3).`(+7).`(-10)=
  =+`(3.7.10)=210 

Exerccios

<R+>
78. Para responder s perguntas seguintes, calcule as expresses:

_`[{doze bandeiras de estados brasileiros. Cada uma delas contm uma expresso_`]
<R->

Paran
  `(+3)`(-2)`(-5)
 Rio Grande do Norte
  `(-4)`(+5)`(-3)`(-1)
 Amazonas
  6`(-5)27
 Santa Catarina
  `(+6)`(+3)`(-2)
 Sergipe
  `(-1)`(-10)`(+2)`(-15)
<p>
 Esprito Santo
  `(-1)`(-1)`(-1)`(-1)`(-1)
 Rondnia
  `(-4)`(+3)`(-5)
 Gois 
  `(-6)`(-6)`(+5)
 Minas Gerais
  1.`(-2).3.`(-4).5
 Maranho
  `(-2)`(-1)`(-5)`(+10)
 Alagoas
  `(+10)`(-10)`(+10)
 Acre
  73.`(-21)
<R+>
<F->

  Colocando os resultados em ordem crescente, as bandeiras associadas s expresses ficaro nesta sequncia: Acre, Alagoas, Amazonas, Sergipe, Maranho, Rio Grande do Norte, Santa Catarina, Esprito Santo, Paran, Rondnia, Minas Gerais, Gois. 
a) Qual resultado correspondente  bandeira de Rondnia? 
<p>
b) De que estado  a bandeira que corresponde ao resultado -100? 
<F+>
<R->
<49>

<R+>
<F->
79. Colocando os resultados em ordem decrescente, as bandeiras ficam assim: Piau, Rio de Janeiro, Rio Grande do Sul, Par, Distrito Federal, Mato Grosso, Pernambuco, Mato Grosso do Sul, Paraba, So Paulo, Bahia, Cear.

_`[{doze bandeiras de estados brasileiros. Cada uma delas contm uma expresso_`]

Paraba
  `(+3)`(+2)`(-2)
Rio Grande do Sul
  `(-4)`(+5)`(-2)`(+5)
Piau
  `(-34)`(-34)
Mato Grosso
  `(+4)`(-6)`(-1)
Cear
  `(+3)`(-1)`(-4)`(+2)`(-10)
<p>
Rio de Janeiro
  `(-8)`(-8).15
Bahia
  `(-8)`(-2)`(-3)
Pernambuco
  `(-10)`(+12)`(-3)`(0)`(+19)
Mato Grosso do Sul
  `(-1)`(+9)
Par
  `(-1)`(+12)`(-11)
So Paulo
  `(-3)`(-2)`(+1)`(-5)
Distrito Federal
  `(-20)`(-2)

a) De que estado  a bandeira que corresponde ao resultado 132? 
b) Qual resultado corresponde  bandeira do Mato Grosso do Sul?
<p>
80. Qual  o sinal do produto na multiplicao de: 
a) trs nmeros positivos? 
b) trs nmeros negativos? 
c) quatro nmeros negativos?

81. Calcule as expresses e responda: Qual delas apresenta o resultado de maior valor absoluto? 
a) 5-4`(-3) 
b) `(-5).4-3
c) 5.`(-4)-3
d) `(-4).6+20`(-1)
e) `(-8)`(-4)-10.3 
f) 3`(-7)+`(-6)`(-5)-
  -2`(-1)`(+8) 

82. Neste prdio no h elevador. Para subir de um andar ao outro, so 16 degraus. 
  O rapaz precisa entregar a pizza no andar da expresso de menor resultado. Quantos degraus ele vai subir? 

_`[{desenho de um prdio com cinco andares. Na vidraa de cada andar h uma expresso. A seguir, a relao das expresses_`]
<F+>
<R->

1 andar:
  12+4`(-5)+`(-3)`(-2)
 2 andar:
  `(-2)`(-3)+3`(-5)
 3 andar:
  21-`(-3)`(-9)
 4 andar:
  -19+4`(-1)
 5 andar:
  `(-1)13-3`(-3)
<50>

<R+>
83. Copie os quadros no caderno e complete-os: 

_`[{quadros adaptados, contedo a seguir_`]
<R->

a) Menos por mais d '''
  -`(+6)='''
  `(-2)`(+5)='''
 b) Mais por menos d '''
  +`(-8)='''
  `(+4)`(-3)='''
<p>
 c) Menos por menos d '''
  -`(-6)='''
  `(-2)`(-5)='''
 d) Mais por mais d '''
  +`(+8)='''
  `(+4)`(+3)='''

Propriedades da multiplicao 

Propriedade comutativa 

  A ordem dos fatores no altera o produto. 
  Por exemplo: 
 34105=10534 
  E, tambm: `(-34)`(105)=-3.570 e `(105)`(-34)=-3.570 

Para que serve? 

  Para conferir se uma multiplicao est correta. O resultado deve ser o mesmo, estando os fatores em uma ordem ou em outra. 
  Confira tambm o sinal.
<p>
Propriedade associativa 

  Na multiplicao de trs fatores, podemos associar os dois primeiros ou os dois ltimos. 
  Por exemplo: 

_`[1 exemplo_`]
 10.`(-50).`(-20)=
  =`(-500).`(-20)=
  =+10.000

 _`[2 exemplo_`]
 10.`(-50).`(-20)=
  =10.`(+1.000)= 
  =+10.000 

Para que serve? 
 
  Numa multiplicao de diversos fatores, podemos fazer as associaes que acharmos mais convenientes. 
<p>
  Para resolver:
 `(-35)17`(-4)=''' 
  Podemos:
 descobrir o sinal:
 `(-`)`(+`)=`(-`)
 `(-`)`(+`)=`(-`)
 `(-`)`(-`)=`(+`)
 multiplicar os nmeros:
 354=140
 14017=2.380
  Ento,
 `(-35)17`(-4)=+2.380.
 
Elemento neutro 

  O nmero +1  o elemento neutro da multiplicao de inteiros. 
  O produto de um nmero por +1  sempre o prprio nmero. 
  Por exemplo: 
 `(-4)`(+1)=-4
 `(+1)`(100)=100 
<51>
<p>
<R+>
Menos por menos d mais (mais uma explicao) 
<R->

  Voc se lembra da propriedade distributiva? No 6 ano, ns a utilizamos para fazer contas de cabea:
 587= 
  =5`(80+7)=
  =400+35=435 

  Essa propriedade continua valendo quando operamos com nmeros inteiros, mesmo negativos. 
  Como: 
 5+`(-5)=0
  Temos: 
 `(-2)5+`(-5)=`(-2)0=0 
  Mas: 
 `(-2)5+`(-5)= 
   =`(-10)+`(-2)`(-5) 
  Para dar o resultado zero, `(-10) precisa ser somado com `(+10). Ento: 
 `(-2)`(-5) s pode ser +10 
<p>
Exerccios

<R+>
 84. Faa as duas contas em seu caderno: 
<R->
 20568=''' 
 68205=''' 

<R+>
85. Julinho est brincando de multiplicar os nmeros das fichas que esto sobre a mesa. 

_`[{sobre a mesa h quatro fichas coloridas, contendo os nmeros a seguir_`]
 rosa -- +48;
 verde -- -15;
 amarela -- -6;
 azul -- -10.

a) Qual ser o sinal do produto?  
 b) Associe as fichas como preferir e descubra a resposta que Julinho deve dar. 
<p>
86. Voc precisa calcular o produto dos nmeros das fichas. A quarta ficha est virada. Qual ser o resultado se nessa ficha houver: 

_`[{a seguir, os nmeros contidos em cada ficha_`]
 rosa -- -8;
 azul -- -33;
 verde -- -10;
 marrom -- est virada.

a) o nmero +1? 
 b) o nmero -1? 
 c) o nmero 0? 

<52>
87. Que nmeros devo multiplicar por `(+4) para obter os resultados indicados? 
<F->
`(+4)'''=+20
`(+4)'''=-4
`(+4)'''=0
<p>
88. Quais so os nmeros que devemos multiplicar por `(-8) para obter os resultados indicados? 
`(-8)'''=+16
`(-8)'''=-80
`(-8)'''=0

89. Que nmeros devemos colocar no lugar dos pontinhos? 
a) `('''`)`(-7)=+49 
b) `(-8)`('''`)=+8 
c) `(+3)`('''`)=-9
d) `(+8)`('''`)=+32  
e) `(+6)`('''`)=-30 
f) `(-2)`('''`)=-16 
g) `(-5)`('''`)=+25
h) `(-7)`('''`)=0 
i) `('''`)`(+3)=-3 

90. Descubra a que filme Marcelo vai assistir, calculando as expresses e somando os resultados obtidos. 
<p>
  Por coincidncia, essa soma d exatamente o tempo de durao do filme. 
<F+>
-2.`(-3.5+18)`+5.-2`(-2)-3 
 17-3.`(-8+5.2)+4.`(9-3.2) 
 -2+3.`{-4-5.3.`(-4)_, 

_`[{a seguir, o nome de cada filme com seu respectivo tempo de durao_`]
<F->
*Os amigveis* -- 214 min
*O ltimo dos pelicanos* 
  -- 212 min
*O primeiro horror* -- 168 min
<F+>
<R->

Desafio

Uma questo de justia 

  Dois pastores possuem 9 pes: Marcos, 4, e Lucas, 5. Aparece um caador esfomeado, e os 3 homens dividem igualmente entre si os 9 pes. O caador paga sua parte dando 8 moedas para Marcos e 10 para Lucas. Um dos pastores reclama desse pagamento, achando injusta a distribuio das moedas, e diz que deveria receber mais do que recebeu. 
<R+>
a) Qual foi o pastor que reclamou? 
 b) Qual seria a distribuio justa das moedas? 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::
<53>
<p>
Captulo 6- Diviso

Recordando a diviso 
 
  Ana comprou uma caixa com 20 bombons de chocolate e quer dividi-la entre cinco amigos. Quantos bombons cada um vai ganhar? 
  Vamos recordar a operao de diviso de nmeros naturais: 
 205=4, porque 4.5=20
  Portanto, cada um dos amigos de Ana vai ganhar 4 bombons. 

A diviso 

  Numa diviso (exata), o quociente  o nmero que, multiplicado pelo divisor, d o dividendo. 

  Ao dividir nmeros inteiros, raciocinamos da mesma forma.  preciso prestar ateno aos sinais. 
<54>
<p>
Exerccios
<R+>
<F->

  Nos exerccios 91 a 93, copie os itens no caderno e complete-os. 

91. Vamos dividir inteiros positivos. 
a) `(+18)`(+6)=''', porque `('''`)`(+6)=+18
b) `(+100)4=''', porque '''4=100 
c) Quando dividimos dois inteiros positivos, o quociente tem sinal '''  

92. Vamos dividir inteiros de sinais contrrios. 
a) `(-18)`(+6)=''', porque `('''`)`(+6)=-18
b) `(-100)4=''', porque `('''`)4=-100
c) `(+18)`(-6)=''', porque `('''`)`(-6)=+18 
d) 100`(-4)=''', porque `('''`)`(-4)=100
<p>
e) Quando dividimos dois inteiros de sinais contrrios, o quociente tem sinal '''

93. Vamos dividir inteiros negativos. 
a) `(-18)`(-6)=''', porque '''`(-6)=-18
b) `(-100)`(-4)=''', porque '''`(-4)=-100 
c) Quando dividimos dois inteiros negativos, o quociente tem sinal ''' 
<F+>
<R->

Diviso de inteiros 

  Nos exerccios anteriores, voc concluiu que, se dividimos inteiros de mesmo sinal, o quociente  positivo; se dividimos inteiros de sinais contrrios, o quociente  negativo. 
  Aps verificar qual ser o sinal do quociente, dividimos os valores absolutos, como se faz com nmeros naturais. 
<p>
  Veja outros exemplos: 
<R+>
 `(+56)`(+7)=+`(567)=8 
 `(-60)`(-1)=+`(601)=60 
 `(+32)`(-16)=-`(3216)=-2 
 200`(-40)=-`(20040)=-5 
 `(-5)`(+5)=-`(55)=-1 
 -7212=-`(7212)=-6 
<R->

  Para dividir inteiros de mesmo sinal, dividimos os valores absolutos e damos ao quociente o sinal positivo. Para dividir inteiros de sinais contrrios, dividimos os valores absolutos e damos ao quociente o sinal negativo. 

  Preste ateno nestas observaes: 
<R+>
 Recordemos que dois sinais de operaes no devem ser escritos um junto do outro sem o uso de parnteses. Por exemplo, no se escreve 15-3. Deve-se escrever 15`(-3). 
<p>
 Zero dividido por outro nmero d zero. Por exemplo: 
<R->
 0`(+9)=0, porque 09=0 
 0`(-5)=0, porque 0`(-5)=0 
<R+>
 No se divide por zero. Por qu? Tente descobrir um quociente para 50. E na diviso 00, o que acontece? 
<R->
<55>

Exerccios

<R+>
<F->
94. Qual  o quociente? 
a) `(+36)`(+9)  
b) `(+55)`(-5) 
c) `(-27)`(+3)
d) `(-40)`(-4) 
e) `(+15)`(-1) 
f) `(-26)`(-26)
g) 6321 
h) 48`(-8) 
i) `(-85)5 
<p>
95. A diviso  exata? 
a) `(+10)`(+2) 
b) `(-18)`(+3) 
c) `(-15)`(+2) 
  Quando a diviso  exata, o primeiro nmero  divisvel pelo segundo. 

  Que palavras completam corretamente as frases a seguir? 
d) +10''' divisvel por +2. 
e) -18''' divisvel por +3.
f) -15''' divisvel por +2.  
<F+>
<R->

  Mltiplos de 7 so os nmeros que obtemos multiplicando nmeros inteiros por 7. 
Observe: 
<R+>
<F->
70=0 
71=7 
72=14
73=21 
74=28
etc.

7`(-1)=-7
7`(-2)=-14  
7`(-3)=-21 
etc. 
<p>
96 Responda: 
a) 441  mltiplo de 7? 
b) 444  mltiplo de 7? 
c) -553  mltiplo de 7? 

97. Certo ou errado? 
a) 99  divisvel por -6. 
b) -156  divisvel por +26. 
c) -100  mltiplo de -10. 

98. Calcule as expresses: 
a) 105-4 
b) -3+124  
c) -2+3.5-126
d) `(-16)4.`(-4) 
e) 4.8`(-2)
f) 25`(-5)+3.2 

99. Que nmeros devemos colocar no lugar dos pontinhos? 
a) `('''`)`(-3)=8
b) `('''`)`(12)=-10
c) `('''`)`(-25)=-1 
d) `(-352)`('''`)=-8
e) 1.836`('''`)=-36 
f) `(-1.050)`('''`)=21
<p>
100. Entre os nmeros dos cartes, descubra os que so pares e os que so mpares. 
carto azul: 15
carto rosa: -31
carto verde: -8
carto laranja: 0
carto roxo: -17
carto amarelo: 26
carto lils: -120
<F+>
<R->

  Chamamos de nmeros pares os inteiros divisveis por 2; os outros inteiros so nmeros mpares. 
<56>

<R+>
101. Cada aluno recebeu uma expresso para calcular: 
<R->
Las: `(-6).10-4`(-2)+
  +`(-5)`(-10)
 Artur: `(7.8-60)`(-2)+3  
 Talita: `(12+5.6)
  `[-2-3`(-1-2)`]
 Fernandinho: 4.20`(-10)+
  +`(-32)`(+16).`(-2)
<p>
 Raul: 2+2-2.22+`(-2)`(-2).
  .`(-2) 
 Adriana: -5`(4-84)+7.`(-1)
<R+>
  Depois, a professora pediu que formassem dois grupos: o dos alunos que chegaram aos resultados pares e o dos alunos que chegaram aos resultados mpares. 
  Quem deveria ficar em cada grupo?
 
102. Em que ficha cada flecha deve acertar? 
<R->
<F+>
<R->
 a) flecha lils
  10-20`(-4)
 b) flecha laranja 
  100-80`(-10)
 c) flecha verde
  408-62

<R+>
<F->
_`[{a seguir, seis fichas coloridas, contendo, cada uma, um nmero_`]
marrom: -2
rosa: +2
pssego: +15
<p>
azul: +108
amarela: -10
roxa: +10

103. Os resultados das expresses so nmeros pares, exceto um. 
a) -16`(-1+3.3)+3.4
b) `[-16`(-1+3.3)+3].4-1 
c) 32`[32`(2-5.2)-4]-4 
d) 32[14(1-3)-3.3]-
  -3`[(0-10)2+3]
e) (26-162)`(-13+4.3)
f) (8.6-16)`(-4-2.2)
  Colocando-se os resultados em ordem decrescente, em que posio fica o resultado mpar? 

104. Responda: 
a) Quantas fichas devem ser guardadas na caixa azul? 
b) Quais fichas sero guardadas na caixa verde? 
c) Quais fichas ficaro na caixa vermelha? 
<p>
_`[{fichas_`]
A- `(-4)`(-8)
B- `(+28)`(-1)
C- `(+3)`(-13)
D- `(-23)`(-17)
E- `(-8)`(-5)
F- `(-17)`(-17)
G- `(-3)0
H- 0`(-3)
I- `(-6)0
J- `(-1)`(+2)
K- `(-200)`(+14)
L- `(+3)`(-13)

_`[{caixas_`]
vermelha: No existe o quociente.
verde: A diviso  exata, e o quociente  um nmero inteiro.
azul: O quociente no  um nmero inteiro.
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::
<57>
<p>
Captulo 7- Potenciao 

Quantas gotas? 

  Dona Virgnia toma 7 gotas de um remdio, 7 vezes ao dia. Quantas gotas ela toma em 7 semanas? 
  Em um dia, dona Virgnia toma 77 gotas. Em uma semana, so 777 gotas. Ento, em 7 semanas so 7777 gotas. 
  Temos: 
<R+>
77=49, 497=343 e 3437= 
  =2.401. 
<R->
  Portanto, em 7 semanas dona Virgnia toma 2.401 gotas do remdio. 

Recordando potncia 

  No 6 ano, estudamos que: 
<R+>
 77=72 :> L-se: "sete ao quadrado". 
 777=73 :> L-se: "sete ao cubo". 
<p>
 7777=74 :> L-se: "sete elevado a quatro", ou "sete  quarta". 
<R->
  Um produto de fatores iguais  uma potncia. 
  Na potenciao: 
<R+>
 a base  o fator que se repete; 
 o expoente  o nmero de vezes que repetimos a base. 
<R->
 72=77
  7 -- base
  2 -- expoente
  77 -- 2 fatores
 73=777
  7 -- base
  3 -- expoente
  777 -- 3 fatores
 74=7777
  7 -- base
  4 -- expoente
  7777 -- 4 fatores
  A base da potncia pode ser um nmero inteiro qualquer, positivo, negativo ou zero. Para calcular a 
<p>
 potncia, fazemos as multiplicaes. Veja os exemplos: 
<R+>
 `(+8)3=`(+8)`(+8)`(+8)=
  =64.8=512 
 04=0.0.0.0=0 
 `(-5)2=`(-5)`(-5)=+25 
 `(-2)5=
  =`(-2)`(-2)`(-2)`(-2)`(-2)=-32 
<R->
<58>

Exerccios 

  `(-10)`(-10)`(-10)`(-10)`(-10)  o produto de 5 fatores iguais a `(-10). Por isso, representamos: 
 `(-10)`(-10)`(-10)`(-10)`(-10)=
  =`(-10)5 

<R+>
<F->
105. Que potncias representam os produtos a seguir? 
a) `(-6)`(-6)`(-6) 
b) 22222222  
c) `(-1)`(-1)`(-1)`(-1) 
d) 1.0011.001

106. Calcule a potncia: 
`(+2)4 
`(-2)5 
06 
<p>
107. Responda: 
a) Em que potncias se l a base elevada "ao quadrado"? 
b) Quanto  `(+3)2? E `(-3)2? 

108. Responda: 
a) Em que potncias se l a base elevada "ao cubo"?  
b) Quanto  `(+2)3? E `(-2)3? 
<F+>
<R->

  Recorde: 
<R+>
 51=5 (quando o expoente  1, a potncia  igual  base)
 50=1 (quando o expoente  0 e a base no nula, a potncia  igual a 1) 
<R->

<R+>
<F->
109. Indique o valor de: 
a) `(+10)1  
b) `(+10)0  
c) `(-10)1  
d) `(-10)0  
<p>
110. Calcule a potncia: 
a) de base `(-6) e expoente 3; 
b) de expoente 5 e base `(-10). 

111. Atenda ao que se pede nos itens a seguir: 
a) Calcule as seguintes potncias de base -2: `(-2)0, `(-2)1, `(-2)2, `(-2)3, `(-2)4, `(-2)5, `(-2)6, `(-2)7 e `(-2)8. 
b) Para quais expoentes o resultado  positivo?  
c) Para quais expoentes o resultado  negativo? 

112. Qual foi o resultado do jogo de futebol Brasil { Itlia, na final da Copa do Mundo de 1970? Descubra calculando as expresses: 
a) Brasil: `(-4)3`(-2)5+2`(-10)0  
b) Itlia: 82`[32-`(1-23)`]+
  +`(-3)1  
<59>
<p>
113. Calcule as expresses: 
`(-12)2-43 
4.`(-2)5+2.`(-5)2-75.
  .`(-1)1 

114. Os alunos foram divididos em grupos de 6. Cada grupo dever calcular as expresses dos cartes e somar os resultados. Essa soma d uma potncia de base 2. Vencer o grupo que primeiro descobrir qual  essa potncia, explicitando o expoente. Que potncia ? 
a) 4`(-3)2+20 
b) 3`(-5)2-`(-5)1+
  +7`(-5)0 
c) `(-1)5-`(-1)4-`(-1)3-
  -`(-1)2 
d) 25-`(-2)4-`(-2)3-22 
e) 2`(-1)3+4`(-2)2-
  -3`(-2)1-8`(-2)0 
f) -3.20+`(-1)2-5`(-2)3+
  +4`(-2)4
<F+>
<R->
<p>
Matemtica em notcia 

  Leia o texto: 

<R+>
Com 86 milhes de pessoas, 
  classe C j  maioria da 
  populao brasileira 
 
Expanso em 2007 resultou do 
  aumento da renda das classes D e E, mas uma parcela menor veio das classes A e B   
<R->

  A classe C j  a maioria da populao. No ano passado, 46% dos brasileiros pertenciam a essa camada social [...] Ela tambm foi a nica que aumentou de tamanho no ltimo ano. De 2006 para 2007, quase 20 milhes de pessoas ingressaram nesse estrato social, um nmero cinco vezes maior que no perodo anterior. 
  A classe C rene hoje 86,2 milhes de brasileiros com renda mdia familiar de R$1.062. A maior parte do contingente que engordou a classe C vem da base da pirmide populacional, as classes D e E, perto de 12 milhes de pessoas. Outros 4,7 milhes vieram das camadas A/B, que perderam poder aquisitivo. O restante  proveniente do crescimento vegetativo da populao. 

<R+>
_`[{quadro adaptado, "Nmero de habitantes em 2007". Contedo a seguir_`]
<R->
Classe A/B -- 28.078.466
  Diferena 2007/06:
  -4.731.088
 Classe C -- 86.207.480
  Diferena 2007/06:
  19.490.504
 Classe D/E -- 72.941.846
  Diferena 2007/06:
  -11.920.244
<p>
<R+>
Renda mdia familiar por classe (inclui a renda, posse de bens e nvel educacional entre outros fatores)
<R->
 Classe A/B
  2006: R$2.325
  2007: R$2.217
 Classe C
  2006: R$1.162
  2007: R$1.062
 Classe D
  2006: R$571
  2007: R$580

<R+>
Renda disponvel por classe (o que sobra no bolso do consumidor depois de todos os gastos essenciais)
<R->
 Classe A/B
  2006: R$518
  2007: R$506
 Classe C
  2006: R$191
  2007: R$147
<p>
 Classe D
  2006: R$2
  2007: R$22

Fonte: Pesquisa Observador
  Brasil 2008 feita pela
  CETELEM em parceria com o
  Instituto IPSOS.

(*O Estado de S. Paulo*,
  27/3/2008.)

<R+>
<F->
  Use uma calculadora para responder s perguntas: 
a) O quadro "Nmero de habitantes em 2007" d a diferena, entre 2006 e 2007, do nmero de pessoas em cada classe. Qual era o total de habitantes, em 2006, pertencentes s classes: 
 C? 
 A/B?
 D/E? 
b) Qual era a populao total em 2006? E em 2007?  
<p>
c) Segundo o texto, a classe C j  a maioria da populao, correspondendo a 46% dos habitantes em 2007. Que classes constituam a maioria da populao em 2006? A que porcentagem correspondia do total?  
<F+>
<R->
<60>

Desafios

Para no chutar 

  Numa prova de 25 testes, cada teste respondido corretamente vale +4 pontos e cada teste com resposta errada vale -1 ponto. Teste no respondido vale 0 ponto. 

<R+>
<F->
1. Todo aluno que fizer essa prova e responder a todos os testes (corretamente ou no) vai tirar uma nota com valor: 
a) positivo 
b) negativo 
c) mltiplo de 3 
d) mltiplo de 4 
e) mltiplo de 5 
<p>
2. Respondendo a todos os testes, quantos  preciso acertar para ter uma nota correspondente a um nmero positivo? 
a) mais de 4 
b) mais de 5 
c) mais de 6 
d) mais de 7 
e) mais de 8 

3. Um aluno que deixar 6 testes em branco e acertar 9 dos que responder, ficar com quantos pontos? 
a) 36 
b) 27 
c) 26 
d) 20 
<F+>
<R->

Complete a lotao 

  Um elevador pode levar 20 adultos ou 24 crianas. 
  Se 15 adultos j esto no elevador, quantas crianas podem ainda entrar?  
<p>
Teste seu conhecimento 

  Observe estes cartes para responder aos testes 1 e 2. 
<R+>
<F->
lils: -20
verde: 0
azul: -2
amarelo: -22
vermelho: 2

1. Colocando-se os nmeros em ordem decrescente, em que posio ficar o carto lils? 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 

2. Somando o nmero do carto amarelo com o nmero oposto ao do carto lils obtemos o nmero: 
a) do carto verde. 
b) do carto azul. 
c) do carto vermelho. 
d) de nenhum dos cartes. 
<p>
3. Se a temperatura de -8C diminuir 12C, quanto ficar? 
a) -20C 
b) -4C 
c) 4C 
d) 20C 

4. Calculando corretamente as expresses a seguir, em quantas delas encontramos o resultado mpar?
`(+14)+`(-5)+`(+7)-`(-11) 
5-11`(-6+4)+3`(7-13) 
28`(-4)+9`(-1)-3`(5-16)

a) em nenhuma 
b) em uma 
c) em duas 
d) em trs 
<p>
5. Colocando-se em ordem crescente os resultados das expresses a seguir, em que posio fica o resultado mpar?
64-`[2-`(2-4)-16`] 
16`(-3)`(-11)-12`(-5) 
256`(-16)+11`(-10) 
-3`(4-204) 

a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 

6. A diferena entre o maior e o menor resultado das expresses a seguir : 
9-3.4 
-3+4`(-2)-3`(-5) 
`(-1.440)`(-9-5+2)-16`(-5) 
`[`(-8)`(-27)-12`(-17)+3.16`]
  `(1-7) 

a) 278 
b) 203 
c) 196 
d) 122 
<p>
7. Quantos nmeros inteiros tm valor absoluto menor do que 5? 
a) 4 
b) 5 
c) 8 
d) 9 

  Observe os cartes a seguir e responda aos testes 8 e 9. 
laranja: -103
lils: -55
rosa: '''
verde: +59
marrom: +101

8. A soma dos nmeros dos cinco cartes deve dar positiva. O menor inteiro que podemos colocar no carto do meio :
a) -5 
b) -3 
c) -1 
d) 1 
<p>
9. A soma dos nmeros dos cinco cartes deve dar negativa. O maior inteiro que podemos colocar no carto do meio :
a) -5 
b) -3 
c) -1 
d) 1 
<F+>
<R->
<61>

<R+>
Matemtica no tempo -- Nmeros negativos 
<R->

  Muito tempo se passou at que a noo de nmero negativo surgisse na histria da Matemtica. Povos responsveis por muitas realizaes matemticas importantes, como egpcios, babilnios e gregos, no trabalharam com esse tipo de nmero. 
  At onde se sabe, os nmeros negativos surgiram inicialmente na China, h pouco mais de dois milnios. Entre outros fatores, foi a dificuldade de comunicao entre povos distantes que, na poca, impediu que essa contribuio dos 
<p>
chineses chegasse logo ao Ocidente. 
  Na obra mais influente da Matemtica chinesa da Antiguidade -- *Os nove captulos da arte da Matemtica* (sculo III a.C.) -- j se encontram enunciadas as regras de sinais para a adio e a subtrao: 
  Para a subtrao, com os mesmos sinais, tire um do outro; tirar positivo do nada d negativo; tirar negativo do nada d positivo. Para a adio, com sinais diferentes, tire um do outro; com os mesmos sinais, acrescente um ao outro; positivo com nada d positivo; negativo com nada d negativo. 
  No entanto, no h registro na Matemtica chinesa do uso da regra de sinais da multiplicao e da diviso anterior ao sculo XIII. 
  Os chineses desenvolveram a prtica de operar com nmeros inteiros usando barras de bambu estendidas sobre um tabuleiro. Para distinguir nmero positivo de nmero negativo, adotaram a seguinte conveno: barras vermelhas indicavam nmeros positivos, e barras pretas, nmeros negativos. 
  Depois dos chineses, acredita-se que os hindus foram o primeiro povo a trabalhar consistentemente com nmeros negativos. A finalidade inicial era indicar dvidas. Entre os matemticos hindus, o primeiro a discorrer sobre os nmeros negativos foi 
 Brahmagupta (sculo VII), que enunciou at a regra de sinais para a multiplicao. 
<62>
  Os rabes, com o objetivo de disseminar o islamismo (a religio fundada por Maom, em torno do ano 620), dominaram vrios povos, construindo um grande imprio que se estendia da ndia  pennsula Ibrica, passando pelo norte da frica. Dessa forma, a soberania sobre os hindus proporcionou-lhes tomar conhecimento das realizaes matemticas desse povo. Entre elas est o nosso sistema de numerao, criado e desenvolvido na ndia, entre os sculos III e IX. Como os rabes o difundiram por todo seu imprio, ele  chamado *sistema de numerao indo-arbico*. A ideia de nmero negativo tambm foi absorvida pelos rabes, mas com restries. Por exemplo, o grande matemtico persa al-Khowarizmi (sculo IX) no se ocupava de problemas que tinham como resposta nmeros negativos. 
  Tanto o sistema de numerao indo-arbico como os nmeros negativos no foram aceitos sem resistncia no Ocidente. O sistema de numerao indo-arbico somente se imps ao sistema romano, apesar de sua notria superioridade, no incio do sculo XVI, embora um tratado de al-Khowarizmi sobre o assunto j tivesse sido traduzido para o latim no sculo XII. Quanto aos nmeros negativos, as dificuldades foram muito maiores. Essa rejeio  bem ilustrada pelo contedo da obra *Lber 
 Abaci* ("Livro dos Clculos", de 1202), a mais importante de 
 Fibonacci (c. 1180-1250), considerado o maior matemtico da Idade Mdia. O tratado de aritmtica, lgebra e geometria -- com nfase no ensino do sistema de numerao indo-arbico -- nada inclua sobre nmeros negativos, embora estes j fossem conhecidos pelo autor. 
  Na verdade, os nmeros negativos foram evitados ou rejeitados pelos matemticos ocidentais at por volta do sculo XVII. Por exemplo, no sculo XV, o francs N. Chuquet (1450-c.1500) e, no sculo XVI, o alemo M. Stifel referiam-se aos nmeros negativos como *nmeros absurdos*. O maior matemtico francs do sculo XVI, F. Vite (1540-1630), ignorou-os totalmente em sua obra. E Blaise Pascal (1623-1662), um dos maiores matemticos de todos os tempos, escreveu em sua obra filosfica *Pensamentos*: "Conheci pessoas incapazes de entender que quando se tira quatro de zero o que resta  nada". 

Explorando a leitura 

<R+>
<F->
1. Para calcular como os chineses, pinte 10 palitos de fsforo de vermelho e outros 10 de preto. Usando esses palitos, calcule: 
a) `(+4)+`(-7) 
b) `(-3)-`(-5) 

2. Bhaskara, o mais importante matemtico hindu do sculo XII, afirmou, em sua obra, que o produto de um nmero por ele mesmo nunca  um nmero negativo. Como voc justificaria essa afirmao? 
3. O primeiro matemtico a interpretar geometricamente os nmeros negativos foi o francs A. Girard (1595-1632). "O negativo em geometria indica retrocesso, e o positivo, avano", dizia ele. Como voc interpreta essa afirmao em termos da reta numerada? 
4. O fato de ter havido grande resistncia aos nmeros negativos no Ocidente, at por volta do fim do sculo XVII, indica maior influncia da Matemtica de qual desses povos: hindus, rabes ou gregos? 
5. Os conjuntos _z e B=`{-x,x,_z`} so iguais ou diferentes? Por qu? 
<F+>
<R->

               oooooooooooo
<63>
<p>
Unidade 2 -- Geometria: ngulos 
  e retas 

<R+>
<F->
Captulo: 
8- ngulo 
<F+>
<R->
<64>

Captulo 8- ngulo

A ideia de ngulo 

  Alguns objetos transmitem a ideia de ngulo. Observe nos exemplos a seguir onde  possvel identificar um ngulo. 
<R+>
 Nos ponteiros de um relgio que marca 2 h 40 min.
 Nos vrtices de um instrumento musical chamado tringulo.
 No formato da vela de um 
  barco.
<R->

<P>
O que  ngulo 

  Vejamos o conceito de ngulo em Geometria. 
  Observe a figura formada por duas semirretas, :,?{o{a* e :,?{o{b*. 

<F->
         
        
    A o
      
     
    
O o
    
     
      
    B o
        
         
<F+>

  O ponto O  origem da semirreta :,?{o{a* e tambm  origem da semirreta :,?{o{b* 
  As semirretas :,?{o{a* e :,?{o{b* formam um ngulo: o ngulo :?{a{o{b*.
<P>
  A reunio de duas semirretas distintas e de mesma origem forma um ngulo. 

  O ponto O  o vrtice do ngulo :?{a{o{b*.
  As semirretas :,?{o{a* e :,?{o{b* so os lados do ngulo :,?{a{o{b*.
<65>
  Observe outros exemplos de ngulos: 
<F->

  b 
     
      
       
        
         
          
 a :::::::o O

ngulo :?a{ob* ou :?b{oa*
vrtice O
lados :,?{oa e :,?{ob
<p>
    _
    _
    _
    _
 A o
    _
    _
    _
    _
 P o:::::o::::
           B

ngulo :?{a{p{b* ou :?{b{p{a*
vrtice P
lados :,?{p{a* e :,?{p{b*
<p>
<F->
  
   
    
 R o
      
       
        
         
      S o:::::::::o:::
                    T
<F+>

 ngulo :?{r{s{t* ou :?{t{s{r*
 vrtice S
 lados :,?{s{r* e :,?{s{t* 
<F+>
<p>
ngulos congruentes 

  Dois ngulos so congruentes quando tm a mesma "abertura". 

<F->
         
        
    A o
      
     
    
O o
    
     
      
    B o
        
         

              
             
C o        o D
           
          
         
        
        o
        V 
<F+>
<p>
  Os ngulos :?{a{o{b* e :?{c{v{d* tm a mesma "abertura". 
  Se copiarmos :?{a{o{b* em papel transparente e, em seguida, por deslocamento, fizermos O coincidir com V e :,?{o{a* coincidir com :,?{v{c*, notaremos que :,?{o{b* tambm coincidir com :,?{v{d*. 
<66> 

Medida de ngulo 

  Observe o ngulo :?a{ob* _`[no representado_`].
  Ele est "repartido" em 4 "fatias" iguais. Cada uma delas  congruente ao ngulo :?c{od*. 
 
<F->
            d
          
         
        
       
      
     
    
O --------- c
<F+>
<p>
  Nesse exemplo, medimos :?a{ob* usando como unidade :?c{od*. A medida de :?a{ob*  4. 
  Para evitar os inconvenientes de deixar livre a escolha da unidade de medida, decidiu-se estabelecer como unidade padro para medir ngulos o grau. 
  Cada grau corresponde a #,ahj de um ngulo raso (ngulo formado por duas semirretas opostas). 
  Para medir ngulos usamos um instrumento chamado transferidor. 
  O transferidor  dividido em graus. 
<67>
   Observe como devemos fazer para medir o ngulo :?{a{o{b*.
<R+>
<F->
1) O centro do transferidor (O) deve coincidir com o vrtice do ngulo (O). 
2) A semirreta {o{a deve passar pelo zero do transferidor. 
3) Fazemos a leitura da medida do ngulo, indicada pela marca do transferidor. 
<F+>
<R->
  No exemplo, o ngulo :?{a{o{b* _`[no representado_`] mede 45. Indicamos: :?{a{o{b*=45
  Veja como medimos alguns ngulos _`[no representados_`]:
<R+>
<F->
:?{c{o{d*=30
:?{c{o{u*=130
:?{u{o{t*=75
:?{p{o{q*=155
ngulo reto: :?{r{o{s*=90
ngulo de meia-volta (ou ngulo raso): :?{x{o{y*=180
<F+>
<R->
<68>

Construo de ngulos 

  J vimos como medir ngulos usando um transferidor. Vejamos ento como constru-los. Por exemplo, como desenhamos um ngulo de 60? 

Construo

ngulo de 60 
  
  Vamos desenhar um ngulo de 60 utilizando um transferidor. 
<F->
<R+>
1- Traamos uma semirreta {oa. 
<p>
2- Colocamos o centro do transferidor em O e o 0 (zero) sobre a semirreta Oa. 
3- Mantendo o transferidor fixo, procuramos nele o nmero 60 e marcamos o ponto B. 
4- Retirando o transferidor, traamos a semirreta {o{b. 
<R->
<F+>
  Observe agora a construo de outros dois ngulos _`[no representados_`]: 
<F->
 ngulo de 80 
 ngulo de 145 
<F+>
<69> 
<p>
Exerccios 

<R+>
1. Qual o nome de cada ngulo representado a seguir? 
<R->
<F->
1)

         
        
    A o
      
     
    
B o
    
     
      
    C o
        
         
<p>
2)

    
     
      o A
       
        
         
          
   --o---o C
     B

3)

       A
       o
       
        
         
          
B o       o C
            
             
<p>
4)

       V
       o
       
        
         
  r       
              
             
               s
<F+>
<R+>

<F->
  Observando cada figura, responda: 
a) Quais so os lados?  
b) Quais so os vrtices? 
<F+>
<R->

<R+>
_`[{para os exerccios 2 e 3, pea orientao ao professor_`]

2. Usando um transferidor, Marcelo desenhou vrios ngulos. 
<R->
  Determine as medidas desses 
  ngulos: 
<p>
<F->
a)

             
          
      B o
        
       
      
     
    
O -----o---
         A

b)

               
              
C o        o A
            
           
          
         
        
        o
        O 
<p>
c)

           _
           _
           o A
           _
           _
           _
           _
           _
 :::o:::::j
    D    O

d)

                
               
             o A
            
  E o     
          
         
        
        o
        O
<p>
e)

                
               
              o F
             
            
           
 :::o::::o
    A    O

f)

   
    
 G o
      
       
        
         o:::::o::
         O     A
<F+>

<R+>
<F->
3. Usando um transferidor, construa os seguintes ngulos: 
a) :?{a{o{b*=75
b) :?{c{o{d*=90 
c) :?{e{o{f*=150 
<F+>
<R->

Fraes do grau 

  Nem sempre a medida de um ngulo  um nmero inteiro. 
  Suponhamos que, ao tentar medir um ngulo :?a{ob*, notamos que a semirreta {ob passa entre as marcas 51 e 52 do transferidor. 
  Nesse caso, a medida do ngulo :?a{ob*  maior que 51 e menor que 52. Para estabelecer essa medida com preciso, necessitamos dividir em partes iguais o ngulo de 1 (que vai desde 51 at 52). Vamos dividir 1 em 60 partes iguais e chamar cada parte de 1 (l-se: "um minuto"). 
<70>
  Suponhamos ainda que a semirreta Ob do ngulo :?a{ob* passe entre as marcas vizinhas 51 37 e 51 38 do transferidor. Ento, para estabelecer com preciso a medida de :?a{ob*, precisamos dividir em partes iguais o ngulo de 1 (que vai desde 51 37 
<p>
 at 51 38). Dividimos, assim, 1 em 60 partes iguais e chamamos cada parte de 1 (l-se: "um segundo"). 

<R+>
<F->
A unidade para medir ngulos  o grau. 
1 grau=1 
1 grau  igual a 60 minutos. 
1=60 
1 minuto  igual a 60 segundos. 
1=60 
<F+>

Medida de ngulo expressa por um nmero misto 

 Como indicar, em minutos, a medida 5 graus e 26 minutos? 
<R->
  Indicamos 5 26, que  um nmero misto, e vale a igualdade: 
 5 26=5+26 
  Como 1=60, podemos expressar essa medida em minutos: 
 5 26=5+26=5.60+26=
  =300+26=326 
  Ento, 5 26=326. 
<p>
<R+>
 Como indicar, em segundos, a medida 2 graus, 10 minutos e 15 segundos? 
<R->
  Indicamos 2 10 15, que  um nmero misto, e vale a igualdade: 
 2 10 15=2+10+15 
  Como 1=60, temos: 
 2+10+15=2.60+10+15=
  =120+10+15=130+15 
  Como 1=60, podemos expressar essa medida em segundos: 
 130+15=130.#fj+15=
  =7.800+15=7.815 
  Ento, 2 10 15=7.815. 
<R+>
 Em 312, quantos graus h e quantos minutos sobram? 
<R->
  Como 60 equivalem a 1, basta dividir 312 por 60: 
 31260=5 resto 12 
 312=5 12
  Logo, em 312 h 5 e sobram 12. 
<R+>
 Como transformar 43.665 em nmero misto? 
<R->
<p>
  Como 60 equivalem a 1, vamos dividir 43.665 por 60:
 43.66560=727 resto 45
 43.665=727 45
  Como 60 equivalem a 1, vamos dividir 727 por 60: 
 72760=12 resto 7
 727=12 7 
  Assim, 43.665=727 45=
 =12 7 45.
<71>

Exerccios

<R+>
<F->
4. Quantos minutos tem: 
a) 1? 
b) 10? 
c) 15? 
d) 3 12? 

5. Quantos segundos tem: 
a) 1? 
b) 1? 
c) 32? 
d) 5? 
e) 10 18? 
<p>
6. Que frao do grau  1 minuto? E 1 segundo? 
7. Quantos segundos tem: 
52 8 32
48 15 
8. Transforme em nmero misto: 
2.732
3.598
9. Simplifique: 
52 70
3 43 80
20 130 

10. Quanto mede o ngulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos de um relgio, em cada um dos seguintes horrios? 
a) 4 h 
b) 5 h 
c) 6 h 
d) 5 h 30 min 
<p>
Adio de medidas de ngulos 
<F+>
<R->

  Vamos ver alguns exemplos de como adicionar ngulos. 
<R+>
<F->
 Vamos calcular 27 30 15+3 12 25. 

27 30 15
+3 12 25
:::::::::::::::
30 42 40
<F+>
<R->
  
  Logo, 27 30 15+3 12 25=30 42 40. 
<72>
<R+>
<F->
 Vamos calcular 15 42 53+30 8 37. 

 15 42 53
+30  8 37
:::::::::::::::
 45 50 90  
<F+>
<R->

  Substituindo 90 por 1 30, temos: 
<R+>
 45 50 90=45 50+1 30=45 51 30 
<R->
  Logo, 15 42 53+30 8 37=45 51 30. 
<R+>
 Vamos calcular 82 25 58+46 47 12. 
<R->
<F->

 82 25 58
+46 47 12
::::::::::::::::
128 72 70
<F+>
 
  Substituindo 70 por 
 1 10, temos: 
 128 72 70=128 72+
 +1 10=128 73 10
  Substituindo 73 por 1 13, temos: 
 128 73 10=128 10+
 +1 13=129 13 10 
  Logo, 82 25 58+
 +46 47 12=129 13 10. 
<p>
Exerccio

<R+>
<F->
11. Qual  a soma? 
a) 120 28 7+42 12 32 
b) 50 40+25 24 
c) 57 32+4 40 
d) 20 47 58+32 22 39
e) 48 52+52 48
f) 12 13 40+25 36 42
g) 82 20+32 40 
h) 1 1 1+88 58 59
<F+>
<R->

Subtrao de medidas de ngulos 

  Agora, vamos ver alguns exemplos de subtrao de ngulos. 
<R+>
 Vamos calcular 82 49 56-50 34 16. 
<R->

<F->
 82 49 56
-50 34 16
::::::::::::::::
 32 15 40
<F+>
<p> 
  Logo, 82 49 56-50 34 
 16=32 15 40. 
<73>
<R+>
 Vamos calcular 45 33 
  15-27 12 45. 
<R->

<F->
 45 32 75
-27 12 45
::::::::::::::::
 18 20 30
<F+>
 
  Logo, 45 33 15-
 -27 12 45=18 20 30. 
<R+>
 Vamos calcular 35 12 
  23-24 51 43. 
<R->

<F->
 34 71 83
-24 51 43
::::::::::::::::
 10 20 40
<F+>

  Logo, 35 12 23-
 -24 51 43=10 20 40. 
<p>
Exerccio

<R+>
<F->
12. Qual  a diferena? 
a) 90 50 55-42 37 15 
b) 10 45-20 12
c) 40 17 28-25 52 45
d) 40 15-25 50  
e) 148 45 38-85 50 30
f) 5-3 12 
g) 10-6 7 8 
h) 35 12-10 54 
i) 90-1
<F+>

Multiplicao de medida de ngulo por um nmero natural 
<R->

 Vamos calcular 
  `(12 17 213. 
  Substituindo 63 por 1 3, temos: 
 36 51 63=36 51+1 
  3=36 52 3 
  Logo, `(12 17 213=
 =36 52 3. 
<p>
 Vamos calcular 
  `(25 32 525. 
  Substituindo 260 por 4 20, temos: 
 125 160 260=
  =125 160+4 20=125 
  164 20
  Substituindo 164 por 2 44, temos: 
 125 164 20=125 
  20+2 44=127 44 20
  Logo, `(25 32 525=127 44 20. 
<74>

Exerccios

<R+>
<F->
13. Qual  o produto? 
a) `(40 25 332 
b) `(25 353 
c) `(15 35 585 
d) `(42 453 
e) `(5 524 
f) `(50 3010 
<p>
14. Calcule: 
`(11 2 38+5 55 273 
`(45 304 

Diviso de medida de ngulo por um nmero natural 

 Vamos calcular `(40 26 582. 
1 passo: dividimos os graus.
<F+>
<R->
 402=20
 2 passo: dividimos os minutos.
 262=13
 3 passo: dividimos os segundos.
 582=29
  Logo, `(40 26 582=
 =20 13 29.
<F->
 Vamos calcular `(60 47 
  364. 
1 passo: dividimos os graus.
<F+>
 604=15
 2 passo: dividimos os minutos.
 474=11 resto 3
<R+>
<p>
 3 passo: convertemos o resto 3 em 180, somamos 180 com 36 (obtendo 216) e dividimos 216 por 4.
<R->
 2164=54
  Logo, `(60 47 364=15 
 11 54. 
<R+>
 Vamos calcular `(40 59 
  423. 
<R->
 `(40 59 423=13 39 
  54
 1=60 
 2=120
  Logo, `(40 59 423=13 
 39 54. 
<75>

Exerccios

<R+>
<F->
15. Qual  o quociente? 
a) `(81 54 393 
b) `(139 42 205 
c) `(5 143 
d) 53 
e) `(47 122 
f) `(35 155 
<p>
16. Calcule: 
`(27 53 13-2 45 314 
17. Determine: 
#;e de 120 
#:e de 43 
#?d de 12 15 28
<F+>
<R->

Desafio 

Conta de gua 

  Numa cidade do interior paulista, o consumo de gua  pago de acordo com a seguinte tabela: 

<R+>
<F->
_`[{tabela "Tarifa de gua" adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: faixa de consumo (m3);
2 coluna: tarifa (R$).

at 10; 17,32
acima de 10 at 20; +2,41 por m3 desta faixa
<p>
acima de 20 at 50; +3,69 por m3 desta faixa
acima de 50; +4,41 por m3 desta faixa

Calcule quanto se paga pelo consumo de:
a) 8 m3 
b) 16 m3 
c) 32 m3 
d) 64 m3 
<F+>
<R->
<76>

ngulos adjacentes 

  Observe a figura formada pelos ngulos :?a{ob* e :?b{oc*
<F->

                 b
               
      Q           
     o           
 c                o
                 P
         
        
       o----------- a
       O
<F+>
<p>
  Ob  lado comum aos ngulos :?a{ob* e :?b{oc*.
  Os pontos da semirreta Ob esto no ngulo :?a{ob* e no ngulo :?b{oc*. 
  O ponto P  ponto interno do ngulo :?a{ob* e no  ponto interno do ngulo :?b{oc*.
  O ponto Q  ponto interno do ngulo :?b{oc* e no  ponto interno do ngulo :?a{ob*.
  Os ngulos :?a{ob* e :?b{oc* no tm pontos internos comuns. 
  Dizemos que os ngulos :?b{oc* e :?a{ob* so ngulos adjacentes. 

  Dois ngulos so adjacentes quando tm em comum o vrtice e um dos lados e no tm pontos internos em comum. 
<p>
<R+>
Bissetriz de um ngulo 

Semirreta interna a um ngulo 
<R->

  Observe as figuras _`[no representadas_`]. 
  As semirretas Oa, Ob e Ox tm a mesma origem. 
  Tomando um ponto A em Oa e um ponto B em Ob, o segmento ^c?{a{b* encontra a semirreta Ox num ponto X, que  ponto interno do segmento ^c?{a{b*. 
  Dizemos que a semirreta Ox  interna ao ngulo :?a{ob*.
<77>
<p>
Bissetriz 

  Observe a figura: 

<F->
          b
        
        
      
      
     30
O o:::::::: c
     30
     
      
       
        
          a
<F+>

  A semirreta Oc  interna ao ngulo :?a{ob*. 
  O ngulo :?a{oc* mede 30, e o ngulo :?b{oc* tambm mede 30. 
  Os ngulos :?a{oc* e :?b{oc* so congruentes. 
  Dizemos que Oc  bissetriz do ngulo :?a{ob* ou, ainda, que Oc divide o ngulo :?a{ob* ao meio. 
<p>
  Bissetriz de um ngulo  uma semirreta interna ao ngulo, com origem no seu vrtice e que forma com seus lados dois ngulos congruentes. 

Exerccios

18. Observe a figura: 

<F->
 
  o S
   
    
     
      
      o:::::::o::
       V     R
     
    
   
  o T
 
<F+>
<p>
<R+>
<F->
  Os ngulos :?{r{v{s* e :?{s{v{t*: 
a) tm algum lado em comum? 
b) tm pontos internos em comum? 
c) so adjacentes? 

19. So dados os ngulos :?x{pz*, :?x{py* e :?y{pz*: 
<F+>
<R->

<F->
  x 
     
      
       
 o A  
         
::::::::::o P
y         
        
       
       
      
  z 
<F+>

<R+>
<F->
a) Qual  o lado comum aos ngulos :?x{pz* e :?x{py*?
b) O ponto A  ponto interno de que ngulos?
<p>
c) Os ngulos :?x{py* e :?y{pz* tm pontos internos em comum?  
d) Podemos afirmar que os ngulos :?x{pz* e :?x{py* so adjacentes? 

20. Observe os ngulos :?a{oc*, :?a{ob* e :?b{oc* da figura a seguir. 
<F+>
<R->

<F->
      O
      o 
      #
     _ 
     _  
     _   
     _    
     _     

 a    b     c 
<F+>

<R+>
<F->
a) Quais desses ngulos so adjacentes? 
b) Se :?a{ob* mede 27 e :?b{oc* mede 22, qual  a medida de :?a{oc*? 
<p>
21. Observe os ngulos :?r{os*, :?s{ot* e :?r{ot* da figura: 
<F+>
<R->

<F->

t             i s
             i
            i
           i
          i
         i
       oi:::::::::: r
       O        
<F+>
      
<F+>
<R+>
  Se :?r{os* mede 40 30 e :?r{ot* mede 134 51, qual  a medida de :?s{ot*? 
<78>

_`[{para as atividades 22 e 23, pea orientao ao professor_`]

22. O ngulo :?a{ob* mede 35 42. A semirreta Oc  bissetriz de :?a{ob. Quanto medem os ngulos :?a{oc* e :?c{ob*? 
<p>
23. Os ngulos :?a{ob* e :?b{oc* so adjacentes e medem, respectivamente, 27 5 32 e 62 14 52. 
  As semirretas Ox e Oy so, respectivamente, suas bissetrizes. Quanto mede :?x{oy*? 
<R->

Retas perpendiculares 

  Observe na figura as retas r e s: 

<F->
        s _
          _
          o B
          _
          _
        _-_
r ::o::::o::::o::
    C    _ O  A
          _
          _
          o D
          _
          _
<F+>

  As retas r e s determinam os ngulos adjacentes: :?{a{o{b* e :?{b{o{c*, :?{b{o{c* e :?{c{o{d*, :?{c{o{d* e :?{d{o{a*, :?{d{o{a* e :?{a{o{b*.
  Os ngulos :?{a{o{b*, :?{b{o{c*, :?{c{o{d* e :?{d{o{a* tm medidas iguais. 
  Dizemos que r e s so retas perpendiculares. 

Indicamos: r#'s. 

  Duas retas que determinam ngulos adjacentes de medidas iguais so retas perpendiculares. 

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo
              
Fim da Segunda Parte
